[2002年] 设A是m×n矩阵,B是n×m的矩阵,则线性方程组(AB)X=0( ).

admin2021-01-25  52

问题 [2002年]  设A是m×n矩阵,B是n×m的矩阵,则线性方程组(AB)X=0(    ).

选项 A、当n>m时,仅有零解
B、当n>m时,必有非零解
C、当m>n时,仅有零解
D、当m>n时,必有非零解

答案D

解析 解一  显然AB为m阶矩阵,因而(AB)X=0是含m个未知数的齐次方程组,而当m>n时,有秩(AB)≤秩(A)≤n<m.因而(AB)X=0有非零解.仅(D)入选.
    解二  因秩(A)≤min(m,n),秩(B)≤min(m,n),而秩(AB)≤min(秩(A),秩(B)),于是当n>m时,有秩(A)≤m,秩(B)≤m,秩(AB)≤m,而AB为m阶矩阵.由于秩(AB)可能小于等于m,只能说当n>m时,如果秩(AB)=m,则(AB)X=0只有零解,如果秩(AB)<m,(AB)X=0必有非零解,因而(A)、(B)都不对.
    又当n<m时,秩(AB)≤n<m,而AB为m阶矩阵,因而矩阵AB的秩小于未知数的个数,齐次方程(AB)X=0必有非零解,于是(C)也不对.仅(D)入选.
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