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  3. 设随机变量X的概率密度为f(x)= 令随机变量 (Ⅰ)求Y的分布函数； (Ⅱ)求概率P{X≤Y}。

设随机变量X的概率密度为f(x)= 令随机变量 (Ⅰ)求Y的分布函数； (Ⅱ)求概率P{X≤Y}。

admin2018-04-11  29
问题 设随机变量X的概率密度为f(x)=
令随机变量

(Ⅰ)求Y的分布函数；
(Ⅱ)求概率P{X≤Y}。
选项
答案(Ⅰ)由题意可知随机变量Y的取值区间为[1，2]，y的分布函数为F(y)=P{Y≤y}。 当y＜1时，F(y)=0； 当y≥2时，F(y)=1； 当1＜y＜2时， F(y)=P{Y≤y}=P{Y≤1)+P{1＜Y≤y} =P{X≥2)+P{1＜x≤y)=∫23x2/9dx+∫1yx2/9dx =19/27+y3—1/27=y3+18/27。 故Y的分布函数为 [*] (Ⅱ)根据全概率公式， P{X≤Y}=P{X≤Y|X≤1}P{X≤1}+P{X≤Y|X≥2}P{X≥2} +P{X≤Y|1＜X＜2}P{1＜X＜2} =P{X≤2|X≤1}P{X≤1}+P{X≤1|X≥2}P{X≥2}+P{X≤X|1＜X＜2}P{1＜X＜2} =1．P{X≤1}+0．P{X≥2}+1．P{1＜X＜2} =1/27+7/27=8/27。
解析
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考研数学一

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