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  3. 设实对称矩阵 (1)求可逆矩阵P，使P—1AP为对角矩阵． (2)若A可逆，计算行列式｜A*+2E｜的值．

设实对称矩阵 (1)求可逆矩阵P，使P—1AP为对角矩阵． (2)若A可逆，计算行列式｜A*+2E｜的值．

admin2017-07-26  49
问题 设实对称矩阵

    (1)求可逆矩阵P，使P—1AP为对角矩阵．
    (2)若A可逆，计算行列式｜A*+2E｜的值．
选项
答案(1)矩阵A的特征多项式为 ｜λE一A｜=[*] =(λ一a一1)2(λ—a+2)， 可得到矩阵A的特征值为 λ1=λ2=a+1，λ3=a一2． 对于A=a+1，由[(a+1)E—A]x=0， [*] 得到属于特征值λ=a+1的线性无关的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T． 对于λ=a一2，由[(a一2)E—A]x=0， [*] 得到属于特征值λ=a一2的特征向量α3=(一1，1，1)T． [*] (2)由于矩阵A的特征值是a+1，a+1，a一2，故｜A｜=(a+1)2(a一2)，那么伴随矩阵A*的特征值是(a+1)(a一2)，(a+1)(a一2)，(a+1)2． 故 A*+2E的特征值是a2一a，a2一a，a2+2a+3． 所以，行列式｜A*+2E｜=(a2一a)2(a2+2a+3)．
解析
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考研数学三

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