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设实对称矩阵 (1)求可逆矩阵P,使P—1AP为对角矩阵. (2)若A可逆,计算行列式|A*+2E|的值.
设实对称矩阵 (1)求可逆矩阵P,使P—1AP为对角矩阵. (2)若A可逆,计算行列式|A*+2E|的值.
admin
2017-07-26
91
问题
设实对称矩阵
(1)求可逆矩阵P,使P
—1
AP为对角矩阵.
(2)若A可逆,计算行列式|A
*
+2E|的值.
选项
答案
(1)矩阵A的特征多项式为 |λE一A|=[*] =(λ一a一1)
2
(λ—a+2), 可得到矩阵A的特征值为 λ
1
=λ
2
=a+1,λ
3
=a一2. 对于A=a+1,由[(a+1)E—A]x=0, [*] 得到属于特征值λ=a+1的线性无关的特征向量α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
. 对于λ=a一2,由[(a一2)E—A]x=0, [*] 得到属于特征值λ=a一2的特征向量α
3
=(一1,1,1)
T
. [*] (2)由于矩阵A的特征值是a+1,a+1,a一2,故|A|=(a+1)
2
(a一2),那么伴随矩阵A
*
的特征值是(a+1)(a一2),(a+1)(a一2),(a+1)
2
. 故 A
*
+2E的特征值是a
2
一a,a
2
一a,a
2
+2a+3. 所以,行列式|A
*
+2E|=(a
2
一a)
2
(a
2
+2a+3).
解析
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考研数学三
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