设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得∫0af(x)dx=af(0)+。

admin2018-12-19 21

问题设f(x)在[0，a]上有一阶连续导数，证明至少存在一点ξ∈[0，a]，使得∫₀^af(x)dx=af(0)+

。

选项

答案由已知 ∫₀^af(x)dx=∫₀^af(x)d(x一a) =[(x一a)f(x)]｜₀^a一∫₀^a(x一a)f’(x)dx =af(0)一∫₀^a(x一a)f’(x)dx。因为f’(x)连续，所以f’(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，则 m(a一x)≤(a—x)f’(x)≤M(a一x)，故[*]≤∫₀^a(a—x)f’(x)dx≤[*]，则再由介值定理可知，至少存在一点ξ∈[0，a]，使得 ∫₀^a(a一x)f’(x)dx=[*]，于是∫₀^af(x)dx=af(0)+[*]。

解析

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