设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记a为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若dα／dx=dy／dx，求y(x)的表达式。

admin2021-01-19 40

问题设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线y=x相切于原点，记a为曲线l在点(x，y)处切线的倾角，若dα／dx=dy／dx，求y(x)的表达式。

选项

答案dy／dx=tanα，两边对x求导得sec²αdα／dx=y"，即(1+y’²)y’=y"。因此可知 [*] 令y’=p，则y"=dp／dx，于是有dp／dx=p(1+p²)，分离变量得ln[*]=x+C₁，代入初始条件得C₁=ln[*] 因为y(0)=0，所以再次积分可得 [*]

解析

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考研数学二

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