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设f(x)二阶可导,f(x)/x=1,且f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)一2f’(ξ)=-2。
设f(x)二阶可导,f(x)/x=1,且f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)一2f’(ξ)=-2。
admin
2021-01-28
74
问题
设f(x)二阶可导,
f(x)/x=1,且f(1)=1,证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)一2f’(ξ)=-2。
选项
答案
由[*]f(x)/x=1得f(0)=0,f’(0)=1; 由拉格朗日中值定理,存在C∈(0,1),使得 f’C=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1, 令φ(x)=e
-2x
[f’(x)-1],φ(0)=φC=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(0,C)∈(0,1),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=-2e
-2x
[f’(x)-1]+e
-2x
f"(x)=e
-2x
[f"(x)-2f’(x)+2]且e
-2x
X≠0, 故f"(ξ)一2f’(ξ)=-2。
解析
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考研数学三
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