设f(x)二阶可导，f(x)/x=1，且f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)一2f’(ξ)=-2。

admin2021-01-28 78

问题设f(x)二阶可导，

f(x)/x=1，且f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)一2f’(ξ)=-2。

选项

答案由[*]f(x)/x=1得f(0)=0，f’(0)=1；由拉格朗日中值定理，存在C∈(0，1)，使得 f’C=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1，令φ(x)=e^-2x[f’(x)-1]，φ(0)=φC=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，C)∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=-2e^-2x[f’(x)-1]+e^-2xf"(x)=e^-2x[f"(x)-2f’(x)+2]且e^-2xX≠0，故f"(ξ)一2f’(ξ)=-2。

解析

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