设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Aχ=β的通解为(1,2,2,1)T+c(1,-2,4,0)T,c任意. 记B=(α3,α2,α1,β-α4).求方程组Bχ=α1-α2的通解.

admin2016-07-20  34

问题 设4阶矩阵A=(α1,α2,α3,α4),方程组Aχ=β的通解为(1,2,2,1)T+c(1,-2,4,0)T,c任意.
    记B=(α3,α2,α1,β-α4).求方程组Bχ=α1-α2的通解.

选项

答案首先从AX=β的通解为(1,2,2,1)T+c(1,-2,4,0)T可得到下列信息: ①Aχ=0的基础解系包含1个解,即4-r(A)=1,得,r(A)=3.即r(α1,α2,α3,α4)=3. ②(1,2,2,1)T是Aχ=β解,即α1+2α2+2α3+α4=β. ③(1,-2,4,0)T是Aχ=0解,即α1-2α2+4α3=0.α1,α2,α3线性相关,r(α1,α2,α3)=2. 显然B(0,-1,1,0)T=α1-α2,即(0,-1,1,0)T是Bχ=α1-α2的一个解. 由②,B=(α3,α2,α1,β-α4)=(α3,α2,α1,α1+2α2+2α3),于是 r(B)=r(α3,α2,α1,α1+2α2+2α3)=r(α1,α2,α3)=2. 则Bχ=0的基础解系包含解的个数为4-r(B)=2个.α1-2α2+4α3=0说明(4,-2,1,0)T是Bχ=0的解;又从B=(α3,α2,α1,α1+2α2+2α3)容易得到B(-2,-2,-1,1)T=0,说明(-2,-2,-1,1)T也是Bχ=0的解.于是(4,-2,1,0)T和(-2,-2,-1,1)T构成Bχ=0的基础解系. Bχ=α1-α2的通解为: (0,-1,1,0)T+c1(4,-2,1,0)T+c2(-2,-2,-1,1)T,c1,c2任意.

解析
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