设a1<a2<…<an,且函数f(x)在[a1,an]上n阶可导,c∈[a1,an]且f(a1)=f(a2) =……=f(an)=0.证明:存在ξ∈(a1,an),使得

admin2022-08-19  29

问题 设a1<a2<…<an,且函数f(x)在[a1,an]上n阶可导,c∈[a1,an]且f(a1)=f(a2)
=……=f(an)=0.证明:存在ξ∈(a1,an),使得

选项

答案当c=ai(i=1,2,…,n)时,对任意的ξ∈(a1,an),结论成立; 设c为异于a1,a2,…,an的数,不妨设a1<c<a2…<an. 令k=f(c)/[(c-a1)(c-a2)…(c-an), 构造辅助函数φ(x)=f(x)-k(x-a1)(x-a2)…(x-an),显然φ(x)在[a1,an]上n阶可导,且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0, 由罗尔定理,存在ξ1(1)∈(a1,c),ξ2(1)∈(c,a2),…,ξn(1)∈(an-1,an),使得φ′(ξ1(1))=φ′(ξ2(1))=…=(ξn(1))=0,φ′(x)在(a1,an)内至少有n个不同零点,重复使用罗尔定理,则φ(n-1)(x)在(a1,an)内至少有两个不同零点,设为c1,cn∈(a1,an),使得φ(n-1)(c1)=φ(n-1)(c2)=0, 再由罗尔定理,存在ξ∈(c1,c2)[*](a1,an),使得φ(n)(ξ)=0. 而φ(n)(x)=f(n)(x)-n!k,所以f(n)(ξ)=n!k,从而有 f(c)=[(c-a1)(c-a2)…(c-an)]/n!f(n)(ξ).

解析
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