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记曲面z=x2+y2-2x-y在区域D:x≥0,y≥0,2x+y≤4上的最低点P处的切平面为π,曲线在点Q(1,1,-2)处的切线为l,求点P到直线l在平面π上的投影l’的距离d.
记曲面z=x2+y2-2x-y在区域D:x≥0,y≥0,2x+y≤4上的最低点P处的切平面为π,曲线在点Q(1,1,-2)处的切线为l,求点P到直线l在平面π上的投影l’的距离d.
admin
2017-08-28
70
问题
记曲面z=x
2
+y
2
-2x-y在区域D:x≥0,y≥0,2x+y≤4上的最低点P处的切平面为π,曲线
在点Q(1,1,-2)处的切线为l,求点P到直线l在平面π上的投影l’的距离d.
选项
答案
由z’
x
=2x-2=0,z’
y
=2y-1=0,得驻点为[*],在驻点处 A=z’’
xx
=2,B=z’’
xy
=0,C=z’’
yy
=2, △=B
2
-AC=-4<0,且A>0,所以[*]为极小值,而驻点唯一,故[*]为曲面的最低点,曲面在P处的切平面π的方程为z=[*] 曲面x
2
+y
2
+z
2
=6在点Q(1,1,-2)处的法向量为n
1
=(2,2,-4);平面x+y+z=0在点Q(1,1,-2)处的法向量为n
2
=(1,1,1);其交线在点Q(1,1,-2)处的切向量为n=n
1
×n
2
=(2,2,-4)×(1,1,1)=6(1,-1,0),于是直线l的方程为[*],其一般式方程为[*] 设过直线l的平面束方程为(x+y-2)+λ(z+2)=0,法向量n
λ
=(1,1,λ),而切平面的法向量n
π
=(0,0,1),令n
λ
垂直n
π
,得λ=0. 即直线l在平面π上的投影l’的方程为[*]到直线l’的距离为 [*]
解析
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考研数学一
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