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  3. 设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．

设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．

admin2016-10-13  48
问题 设f(x)在[a，b]上连续且单调减少．证明：当0＜k＜1时，∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．
选项
答案∫0kf(x)dx一k∫01f(x)dx=∫0kf(x)dx一k[∫0kf(x)dx+∫k1f(x)dx] =(1一k)∫0kf(x)dx—k∫k1f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)] 其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因为0＜k＜1且f(x)单调减少， 所以∫0kf(x)dx—k∫01f(x)dx=k(1一k)[f(ξ1)一f(ξ2)]≥0，故∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx． 又固为f(x)单调减少，所以f(kx)≥f(x)，两边积分得∫01f(kx)dx≥∫01f(x)dx， 故k∫01f(kx)dx≥k∫01f(x)dx，即∫0kf(x)dx≥k∫01f(x)dx．
解析
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考研数学一

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