[2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．

admin2019-04-08 27

问题 [2011年] 设F₁(x)与F₂(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f₁(x)与f₂(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．

选项 A、f₁(x)f₂(x)
B、2f₂(x)F₁(x)
C、f₁(x)F₂(x)
D、f₁(x)F₂(x)+f₂(x)F₁(x)

答案D

解析因f₁(x)，f₂(x)，F₁(x)，F₂(x)分别为随机变量的密度函数与分布函数，故
f₁(x)≥0，f₂(x)≥0，0≤F₁(x)≤1，0≤F₂(x)≤1，所以f₁(x)F₂(x)+f₂(x)F₁(x)≥0．而
∫ _-∞^+∞[f₁(x)F₂(x)+f₂(x)F₁(x)]dx=∫_-∞^+∞F₂(x)dF₁(x)+∫_-∞^+∞F₁(x)dF₂(x)
=F₁(x)F₂(x)｜_-∞^+∞一∫_-∞^+∞F₁(x)dF₂(x)+∫_-∞^+∞F₁(x)dF₂(x)=1．
知，f₁(x)F₂(x)+f₂(x)F₁(x)为概率密度．仅D入选．

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考研数学一

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