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  3. 设A、B都是m×n矩阵，证明： r(A+B)≤r(A)+r(B)．

设A、B都是m×n矩阵，证明： r(A+B)≤r(A)+r(B)．

admin2018-04-15  77
问题 设A、B都是m×n矩阵，证明： r(A+B)≤r(A)+r(B)．
选项
答案将矩阵A与B按列分块为 A=[α1，α2，…，αn]， B=[β1，β2，…，βn]， 并记r(A)=r1，r(B)=r2．不失一般性，设α1，α2，…，[*]是A的列向量组的一个极大线性无关组，β1，β2，…，[*]是B的列量组的一个极大线性无关组，从而α1，α2，…，αn可由 α1，α2，…，[*]线性表示，β1，β2，…，βn可由β1，β2，…，[*]线性表示． 因此，α1+β1，α2+β2，…，αn+βn可由向量组[*]线性表示，故 r(A+B)≤r(A)+r(B)．
解析
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考研数学一

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