设A、B都是m×n矩阵，证明： r(A+B)≤r(A)+r(B)．

admin2018-04-15 52

问题设A、B都是m×n矩阵，证明： r(A+B)≤r(A)+r(B)．

选项

答案将矩阵A与B按列分块为 A=[α₁，α₂，…，α_n]， B=[β₁，β₂，…，β_n]，并记r(A)=r₁，r(B)=r₂．不失一般性，设α₁，α₂，…，[*]是A的列向量组的一个极大线性无关组，β₁，β₂，…，[*]是B的列量组的一个极大线性无关组，从而α₁，α₂，…，α_n可由 α₁，α₂，…，[*]线性表示，β₁，β₂，…，β_n可由β₁，β₂，…，[*]线性表示．因此，α₁+β₁，α₂+β₂，…，α_n+β_n可由向量组[*]线性表示，故 r(A+B)≤r(A)+r(B)．

解析

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