2. 考研
  3. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则对于线性方程组(AB)x=0，下列结论必成立的是[ ]．

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则对于线性方程组(AB)x=0，下列结论必成立的是[ ]．

admin2016-03-01  1
问题 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则对于线性方程组(AB)x=0，下列结论必成立的是[    ]．
选项 A、当n＞m时，仅有零解
B、当n＞m时，必有非零解
C、当m＞n时，仅有零解
D、当m＞n时，必有非零解
答案D
解析 判断齐次线性方程组(AB)x=0解的情况，就是要讨论系数矩阵AB的秩与未知量个数的关系．本题中，AB是m×m矩阵，未知量个数为m．
    因r(AB)≤r(A)≤min{m，n}，所以当m＞n时，min{m，n}=n＜m，因而r(AB)≤n＜m，因此方程(AB)x=0有非零解，(D)正确．
    而当n＞m时，r(AB)≤r(A)≤min{m，n}=m，r(AB)≤m，不能断定r(AB)=m必成立，还是r(AB)＜m必成立，两种都有可能，因此(A)、(B)错．
故选(D)．
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