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  3. 求下列各微分方程的通解： (Ⅰ)y′=； (Ⅱ)y′=2； (Ⅲ)y′=

求下列各微分方程的通解： (Ⅰ)y′=； (Ⅱ)y′=2； (Ⅲ)y′=

admin2016-10-26  37
问题 求下列各微分方程的通解：
(Ⅰ)y′=；
(Ⅱ)y′=2；
(Ⅲ)y′=
选项
答案(Ⅰ)该方程属于[*]=f(ax+by)的情形．令u=2x－y，则原方程化为 u′=2－y′=2－[*]． 这也是一个变量可分离的方程，即[*]u=dx．积分即得其通解为(2x－y－3)2=Cey－x，其中C为任意常数． (Ⅱ)该方程属于[*]≠0的情形．解线性方程组[*] 其解为(3，－2)．令u=x－3，v=y+2，则原方程化为[*] 这是一个齐次方程，再令z=[*]，该方程又可化为[*]两端求积分，即得 ln｜z｜+2arctanz=－ln｜u｜+lnC1． 所以，其通解为y=C[*]－2，其中C为任意常数． (Ⅲ)令u=y2／x，则u′=[*]tanu． 这也是一个变量可分离的方程[*]．两边积分得lnsinu=lnx+lnC，即sinu=Cx， 故其通解为sin[*]=Cx，其中C为任意常数．
解析
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考研数学一

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