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设奇函数f(x)在[一1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: (1)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (2)存在η∈(一1,1),使得f”(η)+f’(η)=1.
设奇函数f(x)在[一1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: (1)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (2)存在η∈(一1,1),使得f”(η)+f’(η)=1.
admin
2016-06-27
60
问题
设奇函数f(x)在[一1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:
(1)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;
(2)存在η∈(一1,1),使得f”(η)+f’(η)=1.
选项
答案
(1)令F(x)=f(x)一x,F(0)=f(0)=0,F(1)=f(1)一1=0, 则由罗尔定理知,存在ξ∈(0,1)使得F’(ξ)=0,即f’(ξ)=1. (2)令G(x)=e
x
[f’(x)一1],由(1)知,存在ξ∈(0,1),使G(ξ)=0,又因为f(x)为奇函数,故f’(x)为偶函数,知G(一ξ)=0,则存在η∈(一ξ,ξ)[*](一1,1),使得G’(η)=0,即 e
η
(f’(η)一1)+e’f”(η)=0,f"(η)+f’(η)=1.
解析
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考研数学三
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