2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α2，A2α1=α3，A3α1=-α1． (I)证明矩阵A+2E可逆，并求(A+2E)-1； (Ⅱ)如果α1=(1．0，一1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(一1，1，1)T，求矩阵A．

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α2，A2α1=α3，A3α1=-α1． (I)证明矩阵A+2E可逆，并求(A+2E)-1； (Ⅱ)如果α1=(1．0，一1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(一1，1，1)T，求矩阵A．

admin2020-09-23  28
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且Aα1=α2，A2α1=α3，A3α1=-α1．
(I)证明矩阵A+2E可逆，并求(A+2E)-1；
(Ⅱ)如果α1=(1．0，一1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(一1，1，1)T，求矩阵A．
选项
答案(I)由已知条件知 A3α1=-α1， A3α2=A4α1=A(A3α1)=一Aα1=一α2， A3α3=A5α1=A2(A3α1)=一A2α1=-α3， 则A3(α1，α2，α3)=(A3α1，A3α2，A3α3)=一(α1，α2，α3)， 记B=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，则矩阵B可逆,于是A3B=一B，等式两端 右乘B-1，得A3=一E，故A3+8E=7E，即 [*] 于是A+2E可逆，且(A+2E)-1=[*] (Ⅱ)由已知条件知Aα1=α2，Aα2=A2α1=α3，Aα3=A3α1=一α1，从而有 A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α2，α3，一α1)， 即 [*] 故 [*]
解析
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考研数学一

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