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证明:f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=1-=0下有最大值和最小值,且它们是方程k2-(Aa2+Cb2)k+(AC-B2)a2b2=0的根.
证明:f(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=1-=0下有最大值和最小值,且它们是方程k2-(Aa2+Cb2)k+(AC-B2)a2b2=0的根.
admin
2016-09-13
47
问题
证明:f(x,y)=Ax
2
+2Bxy+Cy
2
在约束条件g(x,y)=1-
=0下有最大值和最小值,且它们是方程k
2
-(Aa
2
+Cb
2
)k+(AC-B
2
)a
2
b
2
=0的根.
选项
答案
因为f(x,y)在全平面连续,1-[*]=0为有界闭区域,故f(x,y)在此约束条件下必有最大值和最小值. 设(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)分别为最大值点和最小值点,令 L(x,y,λ)=Ax
2
+2Bxy+Cy
2
+λ(1-[*]), 则(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)应满足方程 [*] 记相应乘子为λ
1
,λ
2
,则(x
1
,y
1
,λ
1
)满足 (A-[*])x
1
+By
1
=0,Bx
1
+(c-[*])y
1
=0, 解得λ
1
=Ax
1
2
+2Bx
1
y
1
+Cy
1
2
.同理λ
2
=Ax
2
2
+2Bx
2
y
2
+Cy
2
2
. 即λ
1
,λ
2
是f(x,y)在椭圆[*]=1上的最大值和最小值. 又方程组①和②有非零解,系数行列式为0,即 [*]-B
2
=0. 化简得 λ
2
-(Aa
2
+Cb
2
)λ+(AC-B
2
)a
2
b
2
=0, 所以λ
1
,λ
2
是上述方程(即题目所给方程)的根.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QxT4777K
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考研数学三
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