2. 考研
  3. 证明：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x，y)=1－=0下有最大值和最小值，且它们是方程k2－(Aa2+Cb2)k+(AC－B2)a2b2=0的根．

证明：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x，y)=1－=0下有最大值和最小值，且它们是方程k2－(Aa2+Cb2)k+(AC－B2)a2b2=0的根．

admin2016-09-13  74
问题 证明：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x，y)=1－=0下有最大值和最小值，且它们是方程k2－(Aa2+Cb2)k+(AC－B2)a2b2=0的根．
选项
答案因为f(x，y)在全平面连续，1－[*]=0为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值． 设(x1，y1)，(x2，y2)分别为最大值点和最小值点，令 L(x，y，λ)=Ax2+2Bxy+Cy2+λ(1－[*])， 则(x1，y1)，(x2，y2)应满足方程 [*] 记相应乘子为λ1，λ2，则(x1，y1，λ1)满足 (A－[*])x1+By1=0，Bx1+(c－[*])y1=0， 解得λ1=Ax12+2Bx1y1+Cy12．同理λ2=Ax22+2Bx2y2+Cy22． 即λ1，λ2是f(x，y)在椭圆[*]=1上的最大值和最小值． 又方程组①和②有非零解，系数行列式为0，即 [*]－B2=0． 化简得 λ2－(Aa2+Cb2)λ+(AC－B2)a2b2=0， 所以λ1，λ2是上述方程(即题目所给方程)的根．
解析
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考研数学三

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