设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试求： (I)未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量； (Ⅱ)最大似然估计量是否为θ的无偏估计量，为什么?

admin2019-01-22 41

问题设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X₁，X₂，…，X_n是来自总体X的一个简单随机样本，
试求：
(I)未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量；
(Ⅱ)最大似然估计量是否为θ的无偏估计量，为什么?

选项

答案(I)X的概率密度为 [*] 似然函数 [*] (Ⅱ)为求[*]的期望值，先求[*]的分布。由于总体X服从[0，臼]上的均匀分布，因此X_i(i﹦1，2，…，n)也服从[0，θ]上的均匀分布，其分布函数为 [*] 记[*]的分布函数为G(x)，密度函数为g(x)，则当x＜0时，G(x)﹦0；当x＞0时，G(x)﹦1；当0≤x≤θ时， [*] 由于X₁，X₂，…，X_n相互独立，于是有 [*] 根据无偏估计量的定义可知，[*]不是参数θ的无偏估计量。本题考查参数估计与无偏估计。利用似然函数的结果进行讨论，似然函数在θ﹦[*]X_i处是间断的，因此对其两端进行讨论，找出似然函数的最大值。根据[*]的概率分布函数求概率密度函数；根据[*]和θ的大小，从而判断其无偏性。

解析

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考研数学一

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设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本，试求： (I)未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量； (Ⅱ)最大似然估计量是否为θ的无偏估计量，为什么?

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