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求下列定积分: (Ⅰ)I=∫0πsin2xarctanexdx.
求下列定积分: (Ⅰ)I=∫0πsin2xarctanexdx.
admin
2019-07-19
58
问题
求下列定积分:
(Ⅰ)I=∫
0
π
sin
2
xarctane
x
dx.
选项
答案
[*]
解析
积分I=∫
0
b
f(x)dx在变量替换t=b一x下积分区间保持不变,即
I=一∫
b
0
f(b一t)dt=∫
0
b
f(b一t)dt=∫
0
b
f(b一x)dx,
于是 2I=∫
0
b
[f(x)+f(b—x)]dx.若右端易求,则就求出了I值.题(Ⅰ)就是如此.
积分区间的对称性除了奇函数或偶函数带来方便之外,有时对某些其他函数也会带来方便.在对称区间的情形:I=∫
—a
a
f(x)dx,若作变量替换x=一t,则积分区间保持不变,即I=∫
—a
a
f(一t)dt.
于是 2I=∫
—a
a
[f(x)+f(一x)]dx.
若右端积分易算,则就求出了I的值.题(11)就是这样.
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考研数学一
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