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设X和Y相互独立都服从0—1分布:P{X=1}=P{Y=1}=0.6,试证明:U=X+Y, V=X—Y不相关,但是不独立.
设X和Y相互独立都服从0—1分布:P{X=1}=P{Y=1}=0.6,试证明:U=X+Y, V=X—Y不相关,但是不独立.
admin
2019-01-05
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问题
设X和Y相互独立都服从0—1分布:P{X=1}=P{Y=1}=0.6,试证明:U=X+Y, V=X—Y不相关,但是不独立.
选项
答案
(1)由协方差的定义和性质,以及X和Y相互独立,可见 Cov(U,V)=E(UY)=E(UV)=E(X
2
一Y
2
)一E(X+Y)E(X—Y)=E(X
2
)一E(Y
2
)=0. 于是,U=X+Y,V=X—Y不相关. (2)现在证明U=X+Y,V=X—Y不独立.事实上,由 P{U=0}=P{X=0,Y=0}=P(X=0}P{Y=0}=0.16, P{V=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1} =P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P(Y=1}=0.52, P{U=0,V=0}=P{X=0,Y=0}=P{X=0}P(Y=0} =0.16≠0.16×0.52=P{U=0}P{V=0}, 可见U和V不独立.
解析
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考研数学三
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