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  3. 设X和Y相互独立都服从0—1分布：P{X=1}=P{Y=1}=0．6，试证明：U=X+Y， V=X—Y不相关，但是不独立．

设X和Y相互独立都服从0—1分布：P{X=1}=P{Y=1}=0．6，试证明：U=X+Y， V=X—Y不相关，但是不独立．

admin2019-01-05  61
问题 设X和Y相互独立都服从0—1分布：P{X=1}=P{Y=1}=0．6，试证明：U=X+Y， V=X—Y不相关，但是不独立．
选项
答案(1)由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可见 Cov(U，V)=E(UY)=E(UV)=E(X2一Y2)一E(X+Y)E(X—Y)=E(X2)一E(Y2)=0． 于是，U=X+Y，V=X—Y不相关． (2)现在证明U=X+Y，V=X—Y不独立．事实上，由 P{U=0}=P{X=0，Y=0}=P(X=0}P{Y=0}=0．16， P{V=0}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=1} =P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P(Y=1}=0．52， P{U=0，V=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P(Y=0} =0．16≠0．16×0．52=P{U=0}P{V=0}， 可见U和V不独立．
解析
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考研数学三

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