设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=f(1)．证明：对自然数n≥2，必有ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=f(ξ+)．

admin2017-04-23 73

问题设f(x)在[0，1]上连续，f(0)=f(1)．证明：对自然数n≥2，必有ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=f(ξ+

)．

选项

答案令F(x)=f(x)一f(x+[*])．将[0，1]区间n等分，若在以下n一1个区间[*]的某个端点使F(x)= 0，本题结论已成立；若在以上n一1个区间端点上均有F(x)≠0，则由f(0)=f(1)可知，在以上n一1个区间中至少有一个区间，F(x)在该区间两端点异号，由连续函数介值定理知，存在ξ，使F(ξ)=0，即f(ξ)=f(ξ+[*])．

解析

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考研数学二

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