设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1).证明:对自然数n≥2,必有ξ∈(0,1),使得f(ξ)=f(ξ+).

admin2017-04-23  39

问题 设f(x)在[0,1]上连续,f(0)=f(1).证明:对自然数n≥2,必有ξ∈(0,1),使得f(ξ)=f(ξ+).

选项

答案令F(x)=f(x)一f(x+[*]).将[0,1]区间n等分,若在以下n一1个区间[*]的某个端点使F(x)= 0,本题结论已成立;若在以上n一1个区间端点上均有F(x)≠0,则由f(0)=f(1)可知,在以上n一1个区间中至少有一个区间,F(x)在该区间两端点异号,由连续函数介值定理知,存在ξ,使F(ξ)=0,即f(ξ)=f(ξ+[*]).

解析
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