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考研
证明方程ex=-x2+ax+b不可能有三个不同的根.
证明方程ex=-x2+ax+b不可能有三个不同的根.
admin
2022-10-12
77
问题
证明方程e
x
=-x
2
+ax+b不可能有三个不同的根.
选项
答案
令f(x)=e
x
+x
2
-ax-b,则方程e
x
=-x
2
+ax+b根的个数与f(x)的零点个数相同.不妨设存在x
1
<x
2
<x
3
,使得f(x
1
)=f(x
2
)=f(x
3
)=0,由罗尔定理,存在ξ
1
∈(x
1
,x
2
),ξ
2
∈(x
2
,x
3
),使得f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)∈(x
1
,x
2
),使得f"(ξ)=0,而f"(x)=e
x
+2≠0,矛盾,故方程e
x
=-x
2
+ax+b不可能有三个不同的根.
解析
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考研数学三
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