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设数列{an}的前{an}项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,n=1、2、3…,其中A,B为常数, (1)求A与B的值; (2)证明:数列{an}为等差数列; (3)证
设数列{an}的前{an}项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11,且(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B,n=1、2、3…,其中A,B为常数, (1)求A与B的值; (2)证明:数列{an}为等差数列; (3)证
admin
2015-11-09
77
问题
设数列{a
n
}的前{a
n
}项和为S
n
,已知a
1
=1,a
2
=6,a
3
=11,且(5n-8)S
n+1
-(5n+2)S
n
=An+B,n=1、2、3…,其中A,B为常数,
(1)求A与B的值;
(2)证明:数列{a
n
}为等差数列;
(3)证明:不等式
对任何正整数m、n都成立.
选项
答案
(1)依题意有S
1
=a
1
=1,S
2
=a
1
+a
2
=7,S
3
=a
1
+a
2
+a
3
=18. 因为(5n-8)S
n+1
-(5n+2)S
n
=A
n
+B, 所以[*] 所以A=-20,B=-8. (2)证明:由(1)得(5n-8)S
n+1
-(5n+2)S
n
=-20n-8①, 所以(5n-3)S
n+2
-(5n+7)S
n+1
=-20n-28②. ②-①得:(5n-3)S
n+2
-(10n-1)S
n+1
+(5n+2)S
n
=-20③, 所以(5n+2)S
n+3
-(10n+9)S
n+2
+(5n+7)S
n+1
=-20④. ④-③得:(5n+2)S
n+3
-(15n+6)S
n+2
+(15n+6)S
n+1
-(5n+2)S
n
=0⑤. 又因为a
n+1
=S
n+1
-S
n
, 所以由⑤有(5n+2)a
n+3
-(10n+4)a
n+2
+(5n+2)a
n+1
=0. 因为5n+2≠0, 所以a
n+3
-2a
n+2
+a
n+1
=0. 所以a
n+3
-a
n+2
=a
n+2
-a
n+1
,n≥1, 又因为a
3
-a
2
=a
2
-a
1
=5, 所以数列{a
n
}是首项为1,公差为5的等差数列. (3)证明:由(2)知,a=1+5(n-1)=5n-4, 要证[*], 只需证5a
mn
>1+a
m
a
n
+2[*] 因为a
m
a
n
=(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,a
mn
=5mn-4, 所以只需证5(5mn-4)>1+25mn-20(m+n)+16+2[*], 即只需证20m+20n-37>2[*]. 因为2[*]≤a
m
+a
n
=5m+5n-8. 又因为m、n为正整数,所以15m+15n=29≥1,所以2[*]≤5m+5n-8<(5m+5n-8)+(15m+15n-29)=20m+20n-37. 所以不等式[*]>1对任意的正整数m,n都成立.
解析
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