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设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一S2
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一S2
admin
2020-03-16
57
问题
设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y
’
(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
,并设2S
1
一S
2
恒为1,求曲线y=y(x)的方程。
选项
答案
设曲线y=y(x)上的点P(x,y)处的切线方程为 Y—y=y
’
(X—x), 它与x轴的交点为(x一[*],0)。 由于y
’
(x)>0,y(0)=1,因此y(x)>1(x>0)。于是 S
1
=[*]。 又可得 s
2
=∫
0
x
y(t)dt。 根据题设2S
1
一S
2
=1,有 [*]一∫
0
x
y(t)dt=1。 并且y
’
(0)=1,两边对x求导并化简得 yy
’’
=(y
’
)
2
, 这是可降阶的二阶常微分方程,令p(y)=y
’
,则上述方程可化 [*]=p
2
, 分离变量得 [*] 从而有y=C
2
e
C
1
x
。 根据y
’
(0)=1,y(0)=1,可得C
1
=1,C
2
=1。 故所求曲线的方程为y=e
x
。
解析
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考研数学二
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