设A= (Ⅰ)证明:A~B; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.

admin2021-03-18  23

问题 设A=
(Ⅰ)证明:A~B;
(Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.

选项

答案(Ⅰ)由|λE-A|=[*]=(λ+2)(λ-1)2=0得 A的特征值为λ1=-2,λ2=λ3=1; 由|μE-B|=[*]=0得 B的特征值为μ1=-2,μ2=μ3=1; E-A=[*],由r(E-A)=1得A可相似对角化; E-B=[*],由r(E-B)=1得B可相似对角化, 故A与B相似. (Ⅱ)将λ1=-2代入(λE-A)X=0, 由2E+A=[*]得 λ1=-2对应的线性无关的特征向量为α1=[*] 将λ2=λ3=1代入(λE-A)X=0, 由E-A→[*]得 λ2=λ3=1对应的线性无关的特征向量为α2=[*] 令P1=[*],则P1-1AP1=[*] 将μ1=-2代入(μE-B)X=0, 由2E+B=[*] 得 μ1=-2对应的线性无关的特征向量为β1=[*]; 将μ2=μ3=1代入(μE-B)X=0, 由E-B→[*]得 μ2=μ3=1对应的线性无关的特征向量为β2=[*] 令P2=[*],则P2-1BP2=[*] 由P2-1BP2=P1-1AP1得B=P2P1-1AP1P2-1=(P1P2-1)-1A(P1P2-1), 令P=P1P2-1,则P=[*] 故P-1AP=B.

解析
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