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设A= (Ⅰ)证明:A~B; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
设A= (Ⅰ)证明:A~B; (Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.
admin
2021-03-18
20
问题
设A=
(Ⅰ)证明:A~B;
(Ⅱ)求可逆矩阵P,使得P
-1
AP=B.
选项
答案
(Ⅰ)由|λE-A|=[*]=(λ+2)(λ-1)
2
=0得 A的特征值为λ
1
=-2,λ
2
=λ
3
=1; 由|μE-B|=[*]=0得 B的特征值为μ
1
=-2,μ
2
=μ
3
=1; E-A=[*],由r(E-A)=1得A可相似对角化; E-B=[*],由r(E-B)=1得B可相似对角化, 故A与B相似. (Ⅱ)将λ
1
=-2代入(λE-A)X=0, 由2E+A=[*]得 λ
1
=-2对应的线性无关的特征向量为α
1
=[*] 将λ
2
=λ
3
=1代入(λE-A)X=0, 由E-A→[*]得 λ
2
=λ
3
=1对应的线性无关的特征向量为α
2
=[*] 令P
1
=[*],则P
1
-1
AP
1
=[*] 将μ
1
=-2代入(μE-B)X=0, 由2E+B=[*] 得 μ
1
=-2对应的线性无关的特征向量为β
1
=[*]; 将μ
2
=μ
3
=1代入(μE-B)X=0, 由E-B→[*]得 μ
2
=μ
3
=1对应的线性无关的特征向量为β
2
=[*] 令P
2
=[*],则P
2
-1
BP
2
=[*] 由P
2
-1
BP
2
=P
1
-1
AP
1
得B=P
2
P
1
-1
AP
1
P
2
-1
=(P
1
P
2
-1
)
-1
A(P
1
P
2
-1
), 令P=P
1
P
2
-1
,则P=[*] 故P
-1
AP=B.
解析
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考研数学二
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