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  3. 设A＝ (Ⅰ)证明：A～B； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P－1AP＝B．

设A＝ (Ⅰ)证明：A～B； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P－1AP＝B．

admin2021-03-18  42
问题 设A＝
(Ⅰ)证明：A～B；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P－1AP＝B．
选项
答案(Ⅰ)由｜λE－A｜＝[*]＝(λ＋2)(λ－1)2＝0得 A的特征值为λ1＝－2，λ2＝λ3＝1； 由｜μE－B｜＝[*]＝0得 B的特征值为μ1＝－2，μ2＝μ3＝1； E－A＝[*]，由r(E－A)＝1得A可相似对角化； E－B＝[*]，由r(E－B)＝1得B可相似对角化， 故A与B相似． (Ⅱ)将λ1＝－2代入(λE－A)X＝0， 由2E＋A＝[*]得 λ1＝－2对应的线性无关的特征向量为α1＝[*] 将λ2＝λ3＝1代入(λE－A)X＝0， 由E－A→[*]得 λ2＝λ3＝1对应的线性无关的特征向量为α2＝[*] 令P1＝[*]，则P1－1AP1＝[*] 将μ1＝－2代入(μE－B)X＝0， 由2E＋B＝[*] 得 μ1＝－2对应的线性无关的特征向量为β1＝[*]； 将μ2＝μ3＝1代入(μE－B)X＝0， 由E－B→[*]得 μ2＝μ3＝1对应的线性无关的特征向量为β2＝[*] 令P2＝[*]，则P2－1BP2＝[*] 由P2－1BP2＝P1－1AP1得B＝P2P1－1AP1P2－1＝(P1P2－1)－1A(P1P2－1)， 令P＝P1P2－1，则P＝[*] 故P－1AP＝B．
解析
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考研数学二

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