设f(x)在[0，1]上连续，且满足J f(x)dx=0，fxf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．

admin2018-11-21 26

问题设f(x)在[0，1]上连续，且满足J f(x)dx=0，fxf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．

选项

答案令F(x)=∫₀^xf(t)dt，G(x)=∫₀^xF(s)ds，显然G(x)在[0，1]可导，G(0)=0，又 G(1)=∫₀¹F(s)ds[*]sF(s)｜₀¹一∫₀¹sdF(s)=F(1)一∫₀¹sf(s)ds=0一0=0，对G(x)在[0，1]上用罗尔定理知，[*]c∈(0，1)使得G’(c)=F(c)=0．现由F(x)在[0，1]可导，F(0)=F(C)=F(1)=0，分别在[0，c]，[c，1]对F(x)用罗尔定理知， [*]ξ₁∈(0，c)，ξ₂∈(c，1)，使得F’(ξ₁)=f(ξ₁)=0，F’(ξ₂)=f(ξ₂)=0，即f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．

解析为证f(x)在(0，1)内存在两个零点，只需证f(x)的原函数F(x)=∫₀^xf(t)dt在[0，1]区间上有三点的函数值相等．由于F(0)=0，F(1)=0，故只需再考察F(x)的原函数G(x)=∫₀^xF(s)ds，证明G(x)的导数在(0，1)内存在零点．

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考研数学一

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