设f(x)在[0,1]上连续,且满足J f(x)dx=0,fxf(x)dx=0,求证:f(x)在(0,1)内至少存在两个零点.

admin2018-11-21  24

问题 设f(x)在[0,1]上连续,且满足J f(x)dx=0,fxf(x)dx=0,求证:f(x)在(0,1)内至少存在两个零点.

选项

答案令F(x)=∫0xf(t)dt,G(x)=∫0xF(s)ds,显然G(x)在[0,1]可导,G(0)=0,又 G(1)=∫01F(s)ds[*]sF(s)|01一∫01sdF(s)=F(1)一∫01sf(s)ds=0一0=0, 对G(x)在[0,1]上用罗尔定理知,[*]c∈(0,1)使得G’(c)=F(c)=0. 现由F(x)在[0,1]可导,F(0)=F(C)=F(1)=0,分别在[0,c],[c,1]对F(x)用罗尔定理知, [*]ξ1∈(0,c),ξ2∈(c,1),使得F’(ξ1)=f(ξ1)=0,F’(ξ2)=f(ξ2)=0,即f(x)在(0,1)内至少存在两个零点.

解析 为证f(x)在(0,1)内存在两个零点,只需证f(x)的原函数F(x)=∫0xf(t)dt在[0,1]区间上有三点的函数值相等.由于F(0)=0,F(1)=0,故只需再考察F(x)的原函数G(x)=∫0xF(s)ds,证明G(x)的导数在(0,1)内存在零点.
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