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  3. 已知四元齐次线性方程组(i)的解全是四元方程(ii)x1+x2+x3=0的解． (1)求a的值； (2)求齐次方程组(i)的通解； (3)求齐次方程(ii)的通解．

已知四元齐次线性方程组(i)的解全是四元方程(ii)x1+x2+x3=0的解． (1)求a的值； (2)求齐次方程组(i)的通解； (3)求齐次方程(ii)的通解．

admin2016-11-03  55
问题 已知四元齐次线性方程组(i)的解全是四元方程(ii)x1+x2+x3=0的解．
(1)求a的值；
(2)求齐次方程组(i)的通解；
(3)求齐次方程(ii)的通解．
选项
答案(1)因方程组(i)的解全是方程(ii)的解，故方程组(i)与方程组(iii) [*] 同解，且其系数矩阵 [*] 有相同的秩，因而a≠0．这是因为：如a=0，则r(A)=1，r(B)=2． 当a≠0时，易求得r(A)=3．这是因为A中有子行列式 [*] 对B进行初等行变换，得到 [*] 故当2a－1=即a=1／2时，r(B)=3．此时方程组(i)与方程组(iii)同解． (2)由A→[*]及基础解系的简便求法，即得方程组(i)的基础解系为 α=[一1／2，一1／2，1，1]T， 其通解为kα，k为任意实数． (3)注意到方程(ii)为四元方程，即x1+x2+x3+0x4=0．由 [*] 即可写出其基础解系为 β1=[一1，1，0，0]T， β2=[一1，0，1，0]T， β3=[0，0，0，1]T， 其通解为 k1β1+k2β2+k3β3， 其中k1，k2，k3为任意常数．
解析 由题设可作出与方程组(i)同解的方程组，即将方程组(i)与方程(ii)联立得方程组(iii)．再利用同解的必要条件：方程组(i)与方程组(iii)的系数矩阵的秩必相等．由此确定a，再用基础解系的简便求法，即可分别求得方程组(i)与方程(ii)的基础解系，写出其通解．  
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考研数学一

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