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已知四元齐次线性方程组(i)的解全是四元方程(ii)x1+x2+x3=0的解. (1)求a的值; (2)求齐次方程组(i)的通解; (3)求齐次方程(ii)的通解.
已知四元齐次线性方程组(i)的解全是四元方程(ii)x1+x2+x3=0的解. (1)求a的值; (2)求齐次方程组(i)的通解; (3)求齐次方程(ii)的通解.
admin
2016-11-03
51
问题
已知四元齐次线性方程组(i)
的解全是四元方程(ii)x
1
+x
2
+x
3
=0的解.
(1)求a的值;
(2)求齐次方程组(i)的通解;
(3)求齐次方程(ii)的通解.
选项
答案
(1)因方程组(i)的解全是方程(ii)的解,故方程组(i)与方程组(iii) [*] 同解,且其系数矩阵 [*] 有相同的秩,因而a≠0.这是因为:如a=0,则r(A)=1,r(B)=2. 当a≠0时,易求得r(A)=3.这是因为A中有子行列式 [*] 对B进行初等行变换,得到 [*] 故当2a-1=即a=1/2时,r(B)=3.此时方程组(i)与方程组(iii)同解. (2)由A→[*]及基础解系的简便求法,即得方程组(i)的基础解系为 α=[一1/2,一1/2,1,1]
T
, 其通解为kα,k为任意实数. (3)注意到方程(ii)为四元方程,即x
1
+x
2
+x
3
+0x
4
=0.由 [*] 即可写出其基础解系为 β
1
=[一1,1,0,0]
T
, β
2
=[一1,0,1,0]
T
, β
3
=[0,0,0,1]
T
, 其通解为 k
1
β
1
+k
2
β
2
+k
3
β
3
, 其中k
1
,k
2
,k
3
为任意常数.
解析
由题设可作出与方程组(i)同解的方程组,即将方程组(i)与方程(ii)联立得方程组(iii).再利用同解的必要条件:方程组(i)与方程组(iii)的系数矩阵的秩必相等.由此确定a,再用基础解系的简便求法,即可分别求得方程组(i)与方程(ii)的基础解系,写出其通解.
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考研数学一
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