设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵。 (1)计算并化简PQ；(2)证明Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b。

admin2019-06-30 44

问题设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

其中A*是A的伴随矩阵。
(1)计算并化简PQ；(2)证明Q可逆的充分必要条件是α^TA^-1α≠b。

选项

答案 [*] (2)因为|PQ|是一个特殊的2 × 2分块矩阵形式的行列式，故 [*]=|A|.—α^TA*α+b|A||=|A|.(一α^TA*α+b|A|) [*]所以|PQ|=|P||Q|=|A||Q| 即有|A|.(一α^TA*α+b|A|)=|A||Q| 又因为|A|≠0，故有 |Q|=(一α^TA*α+b|A|)=|A|(一α^TA^-1α+b) 因为Q可逆，故|Q|≠0 即一α^TA^-1α+b≠0,α^TA^-1α≠b

解析

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