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  3. 设α1,α2……αn为n个线性无关的n维列向量，β1，β2，…，βn为任意n个n维列向量。证明：α1,α2……αn可由β1β2……βn线性表示的充要条件是β1β2……βn线性无关。

设α1,α2……αn为n个线性无关的n维列向量，β1，β2，…，βn为任意n个n维列向量。证明：α1,α2……αn可由β1β2……βn线性表示的充要条件是β1β2……βn线性无关。

admin2017-07-10  54
问题 设α1,α2……αn为n个线性无关的n维列向量，β1，β2，…，βn为任意n个n维列向量。证明：α1,α2……αn可由β1β2……βn线性表示的充要条件是β1β2……βn线性无关。
选项
答案必要性： 因为α1,α2，…，αn线性无关，且α1,α2，…，αn可由β1β2，…，βn线性表示，所以n≤r(α1,α2，…，αn)≤r(β1β2，…，βn)≤n，即r(β1β2，…，βn)=n，则β1β2，…，βn线性无关。 充分性： 因为β1β2，…，βn是线性无关的n维向量组，所以β1β2，…，βn可以表示n维向量空间中所有的向量，故α1,α2，…，αn可由β1β2，…，βn线性表示。
解析
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考研数学二

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