设f(x)=xm(1-x)n，m，n为正整数，则在(0，1)内方程f’(x)=0不同实根的个数为( )

admin2021-12-14 25

问题设f(x)=x^m(1-x)ⁿ，m，n为正整数，则在(0，1)内方程f’(x)=0不同实根的个数为( )

选项 A、0
B、1
C、2
D、3

答案B

解析由已知，f(0)=f(1)=0，故根据罗尔定理，可知至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0，又f’(x)=mx^m-1(1-x)ⁿ-nx^m(1-x)^n-1=x^m-1(1-x)^n-1(m-mx-nx)，令f’(x)=0，当x∈(0，1)时，x^m-1(1-x)^n-1≠0，故x=ξ=m/(m+n)是f’(x)=0的唯一实根，B正确。

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