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设曲线段(0≤t≤2π),平面区域D由曲线段L与x轴所围成. (Ⅰ)求区域D分别绕x轴和y轴所得旋转体的体积; (Ⅱ)求
设曲线段(0≤t≤2π),平面区域D由曲线段L与x轴所围成. (Ⅰ)求区域D分别绕x轴和y轴所得旋转体的体积; (Ⅱ)求
admin
2021-03-16
90
问题
设曲线段
(0≤t≤2π),平面区域D由曲线段L与x轴所围成.
(Ⅰ)求区域D分别绕x轴和y轴所得旋转体的体积;
(Ⅱ)求
选项
答案
(Ⅰ)V
x
=π∫
0
4π
y
2
dx=π∫
0
2π
2
2
2(1-cost)
2
·2(1-cost)dt =8π∫
0
2π
(1-cost)
3
dt=8π∫
0
2π
(2sin
2
[*])
3
dt=128π∫
0
2π
sin
6
[*] =128π∫
0
π
sin
6
tdt=256π[*]sin
6
tdt=256π[*]=40π
2
取[x,x+dx][*][0,4π],dV
y
=2πx·y·dx,则 V
y
=2π∫
0
4π
xydx=2π∫
0
2π
2(t-sint)·2
2
(1-cost)
2
dt[*]2π∫
-π
π
2(u+π+sinu)·2
2
(1+cosu)
2
du =16π
2
∫
-π
π
(1+cosu)
2
du=32π
2
∫
0
π
(1+cosu)
2
du =32π
2
∫
0
π
(2cos
2
[*])
2
du=256π
2
[*]cos
4
udu =256π
2
·[*]=48π
3
. (Ⅱ)设L:y=y(x)(0≤x≤4π),则 [*]=∫
0
4π
dx[*](x+y)dy=∫
0
4π
(xy+[*])dx =∫
0
2π
[2(t-sint)·2(1-cost)+2(1-cost)
2
]·2(1-cost)dt =8∫
0
2π
(t-sint)(1-cost)
2
dt+4∫
0
2π
(1-cost)
3
dt, 由∫
0
2π
(t-sint)(1-cost)
2
dt[*]∫
-π
π
(u+π+sinu)(1+cosu)
2
du =2π∫
0
π
(1+cosu)
2
du=2π∫
0
π
(2 cos
2
[*])
2
du =16π[*]cos
4
udu=16π[*] =3π
2
, ∫
0
2π
(1-cost)
3
dt=∫
0
2π
(2 sin
2
[*])
3
dt=16∫
0
π
sin
6
tdt [*] 故[*]dxdy=8·3π
2
+4·5π=24π
2
+20π.
解析
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考研数学二
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