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  3. 设曲线段(0≤t≤2π)，平面区域D由曲线段L与x轴所围成． (Ⅰ)求区域D分别绕x轴和y轴所得旋转体的体积； (Ⅱ)求

设曲线段(0≤t≤2π)，平面区域D由曲线段L与x轴所围成． (Ⅰ)求区域D分别绕x轴和y轴所得旋转体的体积； (Ⅱ)求

admin2021-03-16  71
问题 设曲线段(0≤t≤2π)，平面区域D由曲线段L与x轴所围成．
(Ⅰ)求区域D分别绕x轴和y轴所得旋转体的体积；
(Ⅱ)求
选项
答案(Ⅰ)Vx＝π∫04πy2dx＝π∫02π222(1－cost)2·2(1－cost)dt ＝8π∫02π(1－cost)3dt＝8π∫02π(2sin2[*])3dt＝128π∫02πsin6[*] ＝128π∫0πsin6tdt＝256π[*]sin6tdt＝256π[*]＝40π2 取[x，x＋dx][*][0，4π]，dVy＝2πx·y·dx，则 Vy＝2π∫04πxydx＝2π∫02π2(t－sint)·22(1－cost)2dt[*]2π∫－ππ2(u＋π＋sinu)·22(1＋cosu)2du ＝16π2∫－ππ(1＋cosu)2du＝32π2∫0π(1＋cosu)2du ＝32π2∫0π(2cos2[*])2du＝256π2[*]cos4udu ＝256π2·[*]＝48π3． (Ⅱ)设L：y＝y(x)(0≤x≤4π)，则 [*]＝∫04πdx[*](x＋y)dy＝∫04π(xy＋[*])dx ＝∫02π[2(t－sint)·2(1－cost)＋2(1－cost)2]·2(1－cost)dt ＝8∫02π(t－sint)(1－cost)2dt＋4∫02π(1－cost)3dt， 由∫02π(t－sint)(1－cost)2dt[*]∫－ππ(u＋π＋sinu)(1＋cosu)2du ＝2π∫0π(1＋cosu)2du＝2π∫0π(2 cos2[*])2du ＝16π[*]cos4udu＝16π[*] ＝3π2， ∫02π(1－cost)3dt＝∫02π(2 sin2[*])3dt＝16∫0πsin6tdt [*] 故[*]dxdy＝8·3π2＋4·5π＝24π2＋20π．
解析
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考研数学二

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