下列结论正确的是 ( )

admin2019-08-12 72

问题下列结论正确的是 ( )

选项 A、z=f(x，y)在点(x₀，y₀)某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x₀，y₀)处连续
B、z=f(x，y)在点(x₀，y₀)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x₀，y₀)处两个偏导数存在
C、z=f(x，y)在点(x₀，y₀)某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x₀，y₀)处连续
D、z=f(x，y)在点(x₀，y₀)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x₀，y₀)该邻域内两个偏导数有界

答案C

解析二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x₀，y₀)某邻域U内，对于任意(x，y)∈U，有|f’_x(x，y)|≤M，|f’_y(x，y)|≤M(M为正常数)．
由微分中值定理，有
         |f(x，y)一f(x₀，y₀)|≤|f(x，y)一f(x，y₀)|+|f(x，y₀)一f(x₀，y₀)|
                        =|f’_y(x，y₀+θ₁Ay)·△y|+|f’_x(x₀+θ₂△x，y₀)·△x|
                        ≤M(|△x|+|△y|)，
这里△x=x—x₀，△y=y—y₀，0＜θ₁，θ₂＜1．
当

时，有△x→0，△y→0，必有
|f(x，y)一f(x₀，y₀)|≤M(|△x|+|△y|)→0，
故f(x，y)在点(x₀，y₀)处连续．

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考研数学二

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