2. 考研
  3. 下列结论正确的是 ( )

下列结论正确的是 ( )

admin2019-08-12  31
问题 下列结论正确的是    (    )
选项 A、z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续
B、z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在
C、z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续
D、z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)该邻域内两个偏导数有界
答案C
解析 二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x0，y0)某邻域U内，对于任意(x，y)∈U，有|f’x(x，y)|≤M，|f’y(x，y)|≤M(M为正常数)．
    由微分中值定理，有
            |f(x，y)一f(x0，y0)|≤|f(x，y)一f(x，y0)|+|f(x，y0)一f(x0，y0)|
                           =|f’y(x，y0+θ1Ay)·△y|+|f’x(x0+θ2△x，y0)·△x|
                           ≤M(|△x|+|△y|)，
    这里△x=x—x0，△y=y—y0，0＜θ1，θ2＜1．
    当时，有△x→0，△y→0，必有
                     |f(x，y)一f(x0，y0)|≤M(|△x|+|△y|)→0，
    故f(x，y)在点(x0，y0)处连续．
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考研数学二

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