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  3. 设f(t)连续，区域D={(x，y)｜｜x｜≤1，｜y｜≤1}，求证： f(x—y)dxdy=∫—22f(t)(2一｜t｜)dt．

设f(t)连续，区域D={(x，y)｜｜x｜≤1，｜y｜≤1}，求证： f(x—y)dxdy=∫—22f(t)(2一｜t｜)dt．

admin2019-08-11  59
问题 设f(t)连续，区域D={(x，y)｜｜x｜≤1，｜y｜≤1}，求证：
    f(x—y)dxdy=∫—22f(t)(2一｜t｜)dt．
选项
答案先将二重积分I=[*](x一y)dxdy化为累次积分 I=∫—11dx∫—1f(x—y)dy． 令x—y=t，则 I=一∫—11dx∫x+1x—1f(t)dt=∫—11dx∫x—1x+1f(t)dt． 进一步化为定积分． 对I=∫—11[∫x—1x+1f(t)dt]dx作分部积分，有 I=[x∫x—1x+1f(t)dt]｜—11—∫—11x[f[x+1)一f(x一1)]dx =∫02f(t)dt+∫—20f(t)dt—∫02(t—1)f(t)dt+∫—20(t+1)f(t)dt =∫—22f(t)dt+∫—22(1～｜t｜)f(t)dt=∫—22(2一｜t｜)f(t)dt．
解析
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考研数学二

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