设f(t)连续，区域D={(x，y)｜｜x｜≤1，｜y｜≤1}，求证： f(x—y)dxdy=∫—22f(t)(2一｜t｜)dt．

admin2019-08-11 114

问题设f(t)连续，区域D={(x，y)｜｜x｜≤1，｜y｜≤1}，求证：

f(x—y)dxdy=∫_—2²f(t)(2一｜t｜)dt．

选项

答案先将二重积分I=[*](x一y)dxdy化为累次积分 I=∫_—1¹dx∫_—1f(x—y)dy．令x—y=t，则 I=一∫_—1¹dx∫_x+1^x—1f(t)dt=∫_—1¹dx∫_x—1^x+1f(t)dt．进一步化为定积分．对I=∫_—1¹[∫_x—1^x+1f(t)dt]dx作分部积分，有 I=[x∫_x—1^x+1f(t)dt]｜_—1¹—∫_—1¹x[f[x+1)一f(x一1)]dx =∫₀²f(t)dt+∫_—2⁰f(t)dt—∫₀²(t—1)f(t)dt+∫_—2⁰(t+1)f(t)dt =∫_—2²f(t)dt+∫_—2²(1～｜t｜)f(t)dt=∫_—2²(2一｜t｜)f(t)dt．

解析

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