2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1＝α2＋α3，Aα2＝α1＋α3，Aα3＝α1＋α2． (1)求矩阵A的特征值； (2)判断矩阵A可否对角化．

设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1＝α2＋α3，Aα2＝α1＋α3，Aα3＝α1＋α2． (1)求矩阵A的特征值； (2)判断矩阵A可否对角化．

admin2018-08-12  48
问题 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1＝α2＋α3，Aα2＝α1＋α3，Aα3＝α1＋α2．
    (1)求矩阵A的特征值；
    (2)判断矩阵A可否对角化．
选项
答案(1)因为α1，α2，α3线性无关，所以α1＋α2＋α3≠0， 由A(α1＋α2＋α3)＝2(α1＋α2＋α3)，得A的一个特征值为λ1＝2； 又由A(α1－α2)＝－(α1－α2)，A(α2－α3)＝－(α2－α3)，得A的另一个特征值为λ2＝－1．因为α1，α2，α3线性无关，所以α1～α2与α2－α3也线性无关，所以λ2＝－1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，－1，－1． (2)因为α1－α2，α2－α3为属于二重特征值－1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．
解析
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考研数学二

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