设A是三阶矩阵,α1,α2,α3为三个三维线性无关的列向量,且满足Aα1=α2+α3,Aα2=α1+α3,Aα3=α1+α2. (1)求矩阵A的特征值; (2)判断矩阵A可否对角化.

admin2018-08-12  39

问题 设A是三阶矩阵,α1,α2,α3为三个三维线性无关的列向量,且满足Aα1=α2+α3,Aα2=α1+α3,Aα3=α1+α2
    (1)求矩阵A的特征值;
    (2)判断矩阵A可否对角化.

选项

答案(1)因为α1,α2,α3线性无关,所以α1+α2+α3≠0, 由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3),得A的一个特征值为λ1=2; 又由A(α1-α2)=-(α1-α2),A(α2-α3)=-(α2-α3),得A的另一个特征值为λ2=-1.因为α1,α2,α3线性无关,所以α1~α2与α2-α3也线性无关,所以λ2=-1为矩阵A的二重特征值,即A的特征值为2,-1,-1. (2)因为α1-α2,α2-α3为属于二重特征值-1的两个线性无关的特征向量,所以A一定可以对角化.

解析
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