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设ψ(x)是以2π为周期的连续函数,且φ’(x)=ψ(x),φ(0)=0. (1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecos x的通解; (2)方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.
设ψ(x)是以2π为周期的连续函数,且φ’(x)=ψ(x),φ(0)=0. (1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecos x的通解; (2)方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.
admin
2015-08-14
88
问题
设ψ(x)是以2π为周期的连续函数,且φ’(x)=ψ(x),φ(0)=0.
(1)求方程y’+ysinx=ψ(x)e
cos x
的通解;
(2)方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.
选项
答案
(1)该方程为一阶线性微分方程,通解为 y=e
-∫sinxdx
(∫ψ(x)e
cosx
e
∫sinxdx
dx+C) =e
cosx
(∫ψ(x)e
cosx
.e
-cosx
dx+C) =e
cosx
(∫ψ(x)dx+C)=e
cosx
[φ(x)+C](其中C为任意常数). (2)因为φ’(x)=ψ(x),所以φ(x)=∫
0
x
ψ(t)dt+C
1
,又φ(0)=0,于是,φ(x)=∫
0
x
ψ(t)dt 而φ(x+2π)=∫
0
x+2π
ψ(t)dt=∫
0
x
ψ(t)dt+∫
x
x+2π
ψ(t)dt=φ(x)+∫
0
2π
ψ(t)dt,所以,当∫
0
2π
ψ(t)dt=0时,φ(x+2π)=φ(x),即φ(x)以2π为周期. 因此,当∫
0
2π
ψ(t)dt=0时,方程有以2π为周期的解.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2g34777K
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考研数学二
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