2. 考研
  3. 设ψ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ’(x)=ψ(x)，φ(0)=0． (1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecos x的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

设ψ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ’(x)=ψ(x)，φ(0)=0． (1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecos x的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

admin2015-08-14  111
问题 设ψ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ’(x)=ψ(x)，φ(0)=0．
    (1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecos x的通解；
    (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．
选项
答案(1)该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e-∫sinxdx(∫ψ(x)ecosxe∫sinxdxdx+C) =ecosx(∫ψ(x)ecosx．e-cosxdx+C) =ecosx(∫ψ(x)dx+C)=ecosx[φ(x)+C](其中C为任意常数)． (2)因为φ’(x)=ψ(x)，所以φ(x)=∫0xψ(t)dt+C1，又φ(0)=0，于是，φ(x)=∫0xψ(t)dt 而φ(x+2π)=∫0x+2πψ(t)dt=∫0xψ(t)dt+∫xx+2πψ(t)dt=φ(x)+∫02πψ(t)dt，所以，当∫02πψ(t)dt=0时，φ(x+2π)=φ(x)，即φ(x)以2π为周期． 因此，当∫02πψ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．
解析
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考研数学二

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