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设函数f(x)在(-∞,+∞)内满足f(x)=f(x-π)+sinx且f(x)=x,x∈[0,π),计算∫π3πf(x)dx。
设函数f(x)在(-∞,+∞)内满足f(x)=f(x-π)+sinx且f(x)=x,x∈[0,π),计算∫π3πf(x)dx。
admin
2022-10-08
84
问题
设函数f(x)在(-∞,+∞)内满足f(x)=f(x-π)+sinx且f(x)=x,x∈[0,π),计算∫
π
3π
f(x)dx。
选项
答案
解法一 ∫
π
3π
f(x)dx=∫
π
3π
[f(x-π)+sinx]dx =∫
π
3π
f(x-π)dx[*]∫
0
2π
f(t)dt=∫
0
π
f(t)dt+∫
π
2π
f(t)dt =∫
0
π
f(t)dt+∫
π
2π
[f(t-π)+sint]dt=[*]-2+∫
π
2π
f(t-π)dt[*]-2+∫
0
π
f(x)dx=π
2
-2 解法二 当x∈[π,2π)时,x-π∈[0,π),由f在[0,π)上的定义知f(x-π)=x-π,故 f(x)=f(x-π)+sinx=x-π+sinx x∈[π,2π) 当x∈[2π,3π)时,x-π∈[π,2π),f(x-π)=[(x-π)-π]+sin(x-π)=x-2π-sinx,故 f(x)=f(x-π)+sinx=x-2π-sinx+sinx=x-2π 综上所述,当x在[π,3π)中有[*] ∫
π
3π
f(x)dx=∫
π
2π
f(x)dx+∫
2π
3π
f(x)dx=∫
π
2π
(x-π+sinx)dx+∫
2π
3π
(x-2π)dx =π
2
-2
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/C4R4777K
0
考研数学三
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