2. 考研
  3. 设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f’(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得f’(ζ)/f’(ξ)=ξ/η．

设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f’(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得f’(ζ)/f’(ξ)=ξ/η．

admin2021-10-18  81
问题 设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f’(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得f’(ζ)/f’(ξ)=ξ/η．
选项
答案令F(x)=lnx，F’(x )=1/x≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得[f(2)-f(1)]/[F(2)-F(1)]=f’(ξ)/F’(ξ)，即[f(2)-f(1)]/(ln2-ln1)=f’(ξ)/1/ξ=ξf’(ξ)，由拉格朗日中值定理得ln2-ln1=1/η·(2-1)=1/η，其中η∈(1，2)，f(2)-f(1)=f’(ζ)(2-1)=f’(ζ)，其中ζ∈(1，2)，故f’(ζ)/f’(ξ)=ξ/η．
解析
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考研数学二

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