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设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且=0,又f(2)=2f(x)dx,证明:存在ξ∈(0,2),使得f’(ξ)+f”(ξ)=0.
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且=0,又f(2)=2f(x)dx,证明:存在ξ∈(0,2),使得f’(ξ)+f”(ξ)=0.
admin
2019-11-25
39
问题
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内二阶可导,且
=0,又f(2)=2
f(x)dx,证明:存在ξ∈(0,2),使得f’(ξ)+f”(ξ)=0.
选项
答案
由[*]=0,得f(1)=-1, 又[*],所以f’(1)=0. 由积分中值定理得f(2)=2[*]f(x)dx=f(c),其中c∈[1,[*]], 由罗尔定理,存在X
0
∈(c,2)[*](1,2),使得f’(x
0
)=0. 令φ(x)=e
x
f’(x),则φ(1)=φ(x
0
)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(1,x
0
)[*](0,2),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=e
x
[f’(x)+f”(x)]且e
x
≠0,所以f’(ξ)+f”(ξ)=0.
解析
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考研数学三
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