下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )

admin2020-03-24 49

问题下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是( )

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析 A选项是实对称矩阵，实对称矩阵必可相似对角化。
B选项是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。
C选项是秩为1的矩阵,由|λE一A|=λ³一4λ²，可知矩阵的特征值是4，0，0。对于二重根λ=0，由秩r(0E—A)=r(A)=1可知齐次方程组(0E—A)x=0的基础解系有3—1=2个线性无关的解向量，即λ=0时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。
D选项是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，一1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=l，由秩 r(E一A)=r

=2
可知齐次线性方程组(E—A)x=0只有3—2=1个线性无关的解，即λ=1时只有一个线性无关的特征向量，因此矩阵必不能相似对角化，故选D。

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考研数学三

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