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  3. 已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α1，α2线性无关，若β=α1+2α2一α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4，则Ax=β的通解为______．

已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α1，α2线性无关，若β=α1+2α2一α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4，则Ax=β的通解为______．

admin2019-03-12  57
问题 已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α1，α2线性无关，若β=α1+2α2一α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4，则Ax=β的通解为______．
选项
答案[*]，k1，k2均为任意常数
解析 由
β=α1+2α2一α3=α1+α2+α3+α4=α1+3α2+α3+2α4
可知均为Ax=β的解，故β1一β2=均为Ax=0的解．
    由于α1，α2线性无关，可知r(A)≥2．又由于Ax=0有两个线性无关的解β1一β2，β2一β3，可知Ax=0的基础解系中至少含有两个向量，也即4一r(A)≥2，即r(A)≤2．
    综上，r(A)=2，Ax=0的基础解系中含有两个线性无关的向量，故β1一β2，β2一β3即为Ax=0的基础解系．故Ax=β的通解为，k1，k2均为任意常数．
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考研数学三

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