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设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量. (1)证明α,Aα线性无关; (2)若A2α+Aα一6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化;
设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量. (1)证明α,Aα线性无关; (2)若A2α+Aα一6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化;
admin
2016-10-13
53
问题
设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量.
(1)证明α,Aα线性无关;
(2)若A
2
α+Aα一6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化;
选项
答案
(1)若α,Aα线性相关,则存在不全为零的数k
1
,k
2
,使得k
1
α+k
2
Aα=0,设k
2
≠0, 则Aα=一[*],矛盾,所以α,Aα线性无关. (2)由A
2
α+Aα一6α=0,得(A
2
+A—6E)α=0, 因为α≠0,所以r(A
2
+A一6E)<2,从而|A
2
+A—6E|=0,即 |3E+A|.|2E—A|=0,则|3E+A|=0或|2E—A|=0. 若|3E+A|≠0,则3E+A可逆,由(3E+A)(2E—A)α=0,得 (2E—A)α=,即Aα=2α,矛盾; 若|2E—A|≠0,则2E—A可逆,由(2E—A)(3E+A)α=0,得 (3E+A)α=0,即Aα=一3α,矛盾,所以有|3E+A|=0且|2E—A|=0,于是二阶矩阵A有两个特征值一3,2,故A可对角化.
解析
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考研数学一
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