函数f(x)=ex／(1+x)-x在区间[0，+∞)上( )

admin2022-05-20 46

问题函数f(x)=e^x／(1+x)-x在区间[0，+∞)上( )

选项 A、为凸函数且最大值为1
B、为凹函数且最大值为e
C、为凸函数且最小值为1
D、为凹函数且最小值为-e

答案A

解析由f’(x)=e^x/(1+x)·1/(1+x)²-1=0，得x=0．又因为
f"(x)=e^x/(1+x)［1/(1+x)⁴-2/(1+x)³］=-(1+2x)/(1+x)⁴e^{x/(1+x)＜0(x≥0)，
所以当x≥0时，f’(x)单调减少，从而f’(x)≤f’(0)=0，于是f(x)≤f(0)=1，即最大值为1．A正确．}

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