设函数f（x）在区间[0，4]上连续，且f（x）dx=0，求证：存在ξ∈（0，4）使得f（ξ）+f（4一ξ）=0．

admin2019-08-11 70

问题设函数f（x）在区间[0，4]上连续，且f（x）dx=0，求证：存在ξ∈（0，4）使得f（ξ）+f（4一ξ）=0．

选项

答案作换元t=4—x:0→4对应t:4→0，且dx=—df，从而 ∫₀⁴f(x)dx=一∫₄⁰f(4— t)dt=∫₀⁴(4— t)dt=∫₀⁴f(4— x)dx．由此即得∫₀⁴f(4一x）dx=∫₀⁴f(x）dx=0，于是∫₀⁴[f(x)+f(4—x)]dx=0．利用f(x)+f(4—x)在[0，4]连续，由连续函数的积分中值定理即知存在ξ∈(0，4)使得 f(ξ）+f(4一ξ）=[*]∫₀⁴[f(x)+f(4一x）]dx =0．

解析

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