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设函数f(x)在区间[0,4]上连续,且f(x)dx=0,求证:存在ξ∈(0,4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0.
设函数f(x)在区间[0,4]上连续,且f(x)dx=0,求证:存在ξ∈(0,4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0.
admin
2019-08-11
41
问题
设函数f(x)在区间[0,4]上连续,且f(x)dx=0,求证:存在ξ∈(0,4)使得f(ξ)+f(4一ξ)=0.
选项
答案
作换元t=4—x:0→4对应t:4→0,且dx=—df,从而 ∫
0
4
f(x)dx=一∫
4
0
f(4— t)dt=∫
0
4
(4— t)dt=∫
0
4
f(4— x)dx. 由此即得∫
0
4
f(4一x)dx=∫
0
4
f(x)dx=0,于是∫
0
4
[f(x)+f(4—x)]dx=0. 利用f(x)+f(4—x)在[0,4]连续,由连续函数的积分中值定理即知存在ξ∈(0,4)使得 f(ξ)+f(4一ξ)=[*]∫
0
4
[f(x)+f(4一x)]dx =0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1rJ4777K
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考研数学三
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