f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导函数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0. 结合题干简述托格朗日中值定理的内容并证明；

admin2022-08-12 38

问题 f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导函数f’(x)在开区间(0，c)内存在且单调递减，f(0)=0.
结合题干简述托格朗日中值定理的内容并证明；

选项

答案拉格朗日中值定理f(x)在闭区间[0，c]上连续，在(0，c)内可导，则存在ξ∈(0，c)，使得f(c)-f(0)=f’(ξ)(c-0)。证明：构造辅助函数φ(x)=f(x)-f(0)[f(c)-f(0)]/(c-0)(x-0)，因为φ(0)=φ(c)=0，φ(x)在[0，c]上连续，在(0，c)内可导，所以根据罗尔定理可知，在(0，c)内至少存在一点ξ，使得φ’(ξ)=f’(ξ)[f(c)-f(0)]/(c-0)=0，进而可得f’(ξ)=[f(c)-f(0)]/(c-0)，定理得证。

解析

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