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f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导函数f’(x)在开区间(0,c)内存在且单调递减,f(0)=0. 结合题干简述托格朗日中值定理的内容并证明;
f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导函数f’(x)在开区间(0,c)内存在且单调递减,f(0)=0. 结合题干简述托格朗日中值定理的内容并证明;
admin
2022-08-12
39
问题
f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导函数f’(x)在开区间(0,c)内存在且单调递减,f(0)=0.
结合题干简述托格朗日中值定理的内容并证明;
选项
答案
拉格朗日中值定理f(x)在闭区间[0,c]上连续,在(0,c)内可导,则存在ξ∈(0,c),使得f(c)-f(0)=f’(ξ)(c-0)。 证明:构造辅助函数φ(x)=f(x)-f(0)[f(c)-f(0)]/(c-0)(x-0),因为φ(0)=φ(c)=0,φ(x)在[0,c]上连续,在(0,c)内可导,所以根据罗尔定理可知,在(0,c)内至少存在一点ξ,使得φ’(ξ)=f’(ξ)[f(c)-f(0)]/(c-0)=0,进而可得f’(ξ)=[f(c)-f(0)]/(c-0),定理得证。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
教师资格
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