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η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,…,ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明: (Ⅰ)η*,ξ1,…,ξn—r线性无关; (Ⅱ)η*,η*+ξ1,…,η*+ ξn—r线性无关。
η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ1,…,ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明: (Ⅰ)η*,ξ1,…,ξn—r线性无关; (Ⅱ)η*,η*+ξ1,…,η*+ ξn—r线性无关。
admin
2017-01-21
55
问题
η
*
是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,ξ
1
,…,ξ
n—r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明:
(Ⅰ)η
*
,ξ
1
,…,ξ
n—r
线性无关;
(Ⅱ)η
*
,η
*
+ξ
1
,…,η
*
+ ξ
n—r
线性无关。
选项
答案
(Ⅰ)假设η
*
,ξ
1
,…,ξ
n—r
线性相关,则存在不全为零的数c
0
,c
1
,…,c
n—r
,使得 c
0
η
*
+ c
1
ξ
1
+…+c
n—r
ξ
n—r
=0, (1) 用矩阵A左乘上式两边,得 0=A(c
0
η
*
+ c
1
ξ
1
+…+c
n—r
ξ
n—r
)=c
0
Aη
*
+ c
1
Aξ
1
+…+c
n—r
Aξ
n—r
=c
0
b, 其中b≠0,则c
0
=0,于是(1)式变为 c
1
ξ
1
+…+c
n—r
ξ
n—r
=0, ξ
1
,…,ξ
n—r
,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ
1
,…,ξ
n—r
线性无关,因此c
1
=c
2
=…=c
n—r
=0,与假设矛盾。 所以η
*
,ξ
1
,…,ξ
n—r
线性无关。 (Ⅱ)假设η
*
,η
*
+ξ
1
,…,η
*
+ξ
n—r
线性相关,则存在不全为零的数c
0
,c
1
,…,c
n—r
,使 c
0
η
*
+ c
1
(η
*
+ξ
1
)+…+c
n—r
(η
*
+ξ
n—r
)=0, 即 (c
0
+c
1
+…+c
n—r
)η
*
+ c
1
ξ
1
+…+c
n—r
ξ
n—r
=0。 (2) 用矩阵A左乘上式两边,得0=A[(c
0
+c
1
+…+c
n—r
)η
*
+c
1
ξ
1
+…+c
n—r
ξ
n—r
]=(c
0
+ c
1
…+c
n—r
)Aη
*
+c
1
Aξ
1
+…+c
n—r
ξ
n—r
=(c
0
+c
1
…+c
n—r
)b, 因为b≠0,故c
0
+c
1
+…+c
n—r
=0,代入(2)式,有 c
1
ξ
1
+…+c
n—r
ξ
n—r
=0, ξ
1
,…,ξ
n—r
是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,故ξ
1
,…,ξ
n—r
线性无关,因此c
1
=c
2
=…=c
n—r
=0,则c
0
=0。与假设矛盾。 综上,向量组η
*
,η
*
+ ξ
1
,…,η
*
+ξ
n—r
线性无关。
解析
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考研数学三
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