求微分方程y’’+2y’-3y=ex+x的通解．

admin2016-10-20 59

问题求微分方程y’’+2y’-3y=e^x+x的通解．

选项

答案相应的齐次方程为y’’+2y’-3y=0，特征方程为λ²+2λ-3=0，特征根为λ₁=1，λ₂=-3，齐次方程的通解为C₁e^x+C₂e^-3x．为求得原方程的特解，分别考虑下列两个非齐次微分方程的特解： y’’+2y’-3y=e^x和y’’+2y’-3y=x．对于第一个方程，α=1是特征根，故设特解y*₁(x)=Axe^x，将 y*₁(x)=Ae^x(x+1)， y’’*₁(x)=Ae^x(x+2) 代入原方程，比较系数可得A=[*] 对于第二个方程，非齐次项f(x)=x，0不是特征根，故设特解y*₂(x)=Bx+C，将 y’*₂(x)=B， y’’*₂=0 代入原方程，比较系数可得B=[*] 利用解的叠加原理即得微分方程的通解为 [*] ，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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