求微分方程y’’+2y’-3y=ex+x的通解．

admin2016-10-20 91

问题求微分方程y’’+2y’-3y=e^x+x的通解．

选项

答案相应的齐次方程为y’’+2y’-3y=0，特征方程为λ²+2λ-3=0，特征根为λ₁=1，λ₂=-3，齐次方程的通解为C₁e^x+C₂e^-3x．为求得原方程的特解，分别考虑下列两个非齐次微分方程的特解： y’’+2y’-3y=e^x和y’’+2y’-3y=x．对于第一个方程，α=1是特征根，故设特解y*₁(x)=Axe^x，将 y*₁(x)=Ae^x(x+1)， y’’*₁(x)=Ae^x(x+2) 代入原方程，比较系数可得A=[*] 对于第二个方程，非齐次项f(x)=x，0不是特征根，故设特解y*₂(x)=Bx+C，将 y’*₂(x)=B， y’’*₂=0 代入原方程，比较系数可得B=[*] 利用解的叠加原理即得微分方程的通解为 [*] ，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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考研数学三

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[*]
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α1，α2是向量组(Ⅱ)的一个极大无关组，(Ⅱ)的秩为2，故(Ⅰ)的秩为2．由于(Ⅰ)线性相关，从而行列式|β1，β2，β3|=0，由此解得a=3b；又β3可由向量组(Ⅱ)线性表示，从而β3可由α1，α2线性表示，所以向量组α1，α2，β3线性相关，于是行
设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．
在求直线l与平面Ⅱ的交点时，可将l的参数方程x＝xo＋mt，y＝yo＋nt，z＝zo＋pt代入Ⅱ的方程Ax＋By＋Cz＋D＝0，求出相应的t值．试问什么条件下，t有唯一解、无穷多解或无解?并从几何上对所得结果加以说明．
求下列微分方程的通解(1)xyˊ＋y－2y3＝0；(2)xyˊlnx＋y＝x(1＋lnx)；(3)yˊ＋ex(1－e－y)＝0；(4)yy〞－yˊ2－1＝0．
设n元线性方程组Ax＝b，其中，x＝(x1，…，xn)T，b＝(1，0，…，0)T．(I)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an；(Ⅱ)a为何值时，方程组有唯一解?求x1；(Ⅲ)a为何值时，方程组有无穷多解?求通解．
设非齐次线性微分方程yˊ＋P(x)y＝Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C为任意常数，则该方程的通解是()．。

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