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求微分方程y’’+2y’-3y=ex+x的通解.
求微分方程y’’+2y’-3y=ex+x的通解.
admin
2016-10-20
58
问题
求微分方程y’’+2y’-3y=e
x
+x的通解.
选项
答案
相应的齐次方程为y’’+2y’-3y=0,特征方程为λ
2
+2λ-3=0,特征根为λ
1
=1,λ
2
=-3,齐次方程的通解为C
1
e
x
+C
2
e
-3x
. 为求得原方程的特解,分别考虑下列两个非齐次微分方程的特解: y’’+2y’-3y=e
x
和y’’+2y’-3y=x. 对于第一个方程,α=1是特征根,故设特解y*
1
(x)=Axe
x
,将 y*
1
(x)=Ae
x
(x+1), y’’*
1
(x)=Ae
x
(x+2) 代入原方程,比较系数可得A=[*] 对于第二个方程,非齐次项f(x)=x,0不是特征根,故设特解y*
2
(x)=Bx+C,将 y’*
2
(x)=B, y’’*
2
=0 代入原方程,比较系数可得B=[*] 利用解的叠加原理即得微分方程的通解为 [*] ,其中C
1
,C
2
为任意常数.
解析
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考研数学三
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