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  3. 设f(x1，x2，…，xn)=XTAX是正定二次型．证明： |A|＞0；

设f(x1，x2，…，xn)=XTAX是正定二次型．证明： |A|＞0；

admin2018-08-22  85
问题 设f(x1，x2，…，xn)=XTAX是正定二次型．证明：
|A|＞0；
选项
答案用f正定的充要条件证：f=XTAX正定[*]存在可逆矩阵C，使得CTAC=E． A=(CT)-1C-1[*]|A|=|C-1|2>0． 或用反证法：若|A|≤0，则|A|=λ1λ2…λn≤O，必有λt≤0． 设λi对应的特征向量为αi，则有Aαi=λiαi，两端左边乘αiT，得 αiTAαi=λiαiTαi≤0 (因αiTαi＞0，λi≤0)， 这和f是正定二次型矛盾，故|A|＞0．
解析
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考研数学二

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