设f(x1，x2，…，xn)=XTAX是正定二次型．证明： |A|＞0；

admin2018-08-22 39

问题设f(x₁，x₂，…，x_n)=X^TAX是正定二次型．证明：
|A|＞0；

选项

答案用f正定的充要条件证：f=X^TAX正定[*]存在可逆矩阵C，使得C^TAC=E． A=(C^T)^-1C^-1[*]|A|=|C^-1|²>0．或用反证法：若|A|≤0，则|A|=λ₁λ₂…λ_n≤O，必有λ_t≤0．设λ_i对应的特征向量为α_i，则有Aα_i=λ_iα_i，两端左边乘α_i^T，得 α_i^TAα_i=λ_iα_i^Tα_i≤0 (因α_i^Tα_i＞0，λ_i≤0)，这和f是正定二次型矛盾，故|A|＞0．

解析

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考研数学二

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