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若函数f(x)在(一∞,+∞)内满足关系式f’(x)=f(x),且f(0)=1,证明:f(x)=ex.
若函数f(x)在(一∞,+∞)内满足关系式f’(x)=f(x),且f(0)=1,证明:f(x)=ex.
admin
2020-03-10
65
问题
若函数f(x)在(一∞,+∞)内满足关系式f’(x)=f(x),且f(0)=1,证明:f(x)=e
x
.
选项
答案
[*]
解析
欲证f(x)=e
x
,一种思路是移项一边作辅助函数ψ(x)=f(x)一e
x
,如能证明ψ’(x)≡0,从而ψ(x)≡C.由条件ψ(0)=f(0)一1=0,得C=0,即f(x)-e
x
≡0,于是f(x)= e
x
.但ψ’(x)一e
x
(x)一e
x
,利用已知条件ψ’(x)=f(x)得ψ’(x)一f(x)一e
x
,要证ψ’(x)≡0,即要证f(x)=e
x
,而这就是我们要证明的结论,故这种思路行不通.另一种思路是由f(x)=e
x
两边同除以e
x
得辅助函数ψ(x)=
若能证明ψ’(x)=0,从而ψ(x)=C,由条件ψ(0)=
=1得C=1,即
因此本题利用第二种思路.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CVD4777K
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考研数学三
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