设随机变量X的概率密度为f(x),则下列函数中一定可以作为概率密度的是

admin2019-01-06  42

问题 设随机变量X的概率密度为f(x),则下列函数中一定可以作为概率密度的是

选项 A、f(2x).
B、2f(x).
C、|f(一x)|.
D、f(|x|).

答案C

解析 根据概率密度的充要条件逐一判断.
对于(A):∫-∞+∞f(2x)dx=,故(A)不对.
    对于(B):∫-∞+∞2f(x)dx=2∫-∞+∞f(x)dx=2≠1,故(B)不对.
    对于(C):|f(一x)|=f(一x)≥0,且
    ∫-∞+∞|f(-x)|dx=∫-∞+∞f(一x)dx=一∫+∞-∞f(t)dt=∫-∞+∞f(t)dt=1,
故(C)满足概率密度的充要条件,选(C).
    对于(D):∫-∞+∞f(|x|)dx=∫-∞0f(一x)dx+∫0+∞f(x)dx=一∫+∞0f(t)dt+∫0+∞f(x)dx=2∫0+∞f(x)dx,
由于2∫0+∞f(x)dx不一定等于1,故不选.
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