[2006年] 设f(x)是奇函数,除x=0外处处连续,x=0是其第一类间断点,则∫0x f(t)dt是( ).

admin2019-04-05  41

问题 [2006年]  设f(x)是奇函数,除x=0外处处连续,x=0是其第一类间断点,则∫0x f(t)dt是(  ).

选项 A、连续的奇函数   
B、连续的偶函数
C、在x=0间断的奇函数   
D、在x=0间断的偶函数

答案B

解析   解一  由题设知,f(x)在(一∞,+∞)上仅有一个第一类间断点,因而f(x)在任意区间[a,b]上可积.由命题1.1.1.3知,F(x)=∫0x f(t)dt处处连续.又F(一x)=∫0-x f(t)dt一∫0x f(一u)du=一∫0x (一1)f(u)du=f(u)du=F(x),
故F(x)为连续的偶函数.仅(B)入选.
  解二  由于题设条件含抽象函数,本例可由赋值法求解,即取符合题设条件的特殊函数f(x)去计算F(x),然后根据F(x)的性质确定正确选项:
令特殊函数f(x)=它满足题设中所有条件,则
0x f(t)dt==∣x∣(一∞<x<+∞).
显然∣x∣=∫0x f(t)dt为连续的偶函数.仅(B)入选.
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