[2006年] 设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0x f(t)dt是( )．

admin2019-04-05 59

问题 [2006年] 设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫₀^x f(t)dt是( )．

选项 A、连续的奇函数
B、连续的偶函数
C、在x=0间断的奇函数
D、在x=0间断的偶函数

答案B

解析解一由题设知，f(x)在(一∞，+∞)上仅有一个第一类间断点，因而f(x)在任意区间[a，b]上可积．由命题1．1．1．3知，F(x)=∫₀^x f(t)dt处处连续．又F(一x)=∫₀^-x f(t)dt

一∫₀^x f(一u)du=一∫₀^x (一1)f(u)du=f(u)du=F(x)，
故F(x)为连续的偶函数．仅(B)入选．
解二由于题设条件含抽象函数，本例可由赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去计算F(x)，然后根据F(x)的性质确定正确选项：
令特殊函数f(x)=

它满足题设中所有条件，则
∫₀^x f(t)dt=

=∣x∣(一∞＜x＜+∞)．
显然∣x∣=∫₀^x f(t)dt为连续的偶函数．仅(B)入选．

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考研数学二

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