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  3. [2006年] 设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0x f(t)dt是( )．

[2006年] 设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0x f(t)dt是( )．

admin2019-04-05  45
问题 [2006年]  设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0x f(t)dt是(  )．
选项 A、连续的奇函数   
B、连续的偶函数
C、在x=0间断的奇函数   
D、在x=0间断的偶函数
答案B
解析   解一  由题设知，f(x)在(一∞，+∞)上仅有一个第一类间断点，因而f(x)在任意区间[a，b]上可积．由命题1．1．1．3知，F(x)=∫0x f(t)dt处处连续．又F(一x)=∫0-x f(t)dt一∫0x f(一u)du=一∫0x (一1)f(u)du=f(u)du=F(x)，
故F(x)为连续的偶函数．仅(B)入选．
  解二  由于题设条件含抽象函数，本例可由赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数f(x)去计算F(x)，然后根据F(x)的性质确定正确选项：
令特殊函数f(x)=它满足题设中所有条件，则
∫0x f(t)dt==∣x∣(一∞＜x＜+∞)．
显然∣x∣=∫0x f(t)dt为连续的偶函数．仅(B)入选．
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考研数学二

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